arctanx 就是反正切函数，它是正切函数 tan 在主值区间负二分之派到正二分之派上定义出来的反函数，arctanx 的含义是求一个角度，使得这个角度的正切值等于自变量 x，arctanx 定义域是全体实数，值域是负二分之派到正二分之派，函数图像是单调递增的连续曲线，关于原点对称，属于奇函数，这个函数是高等数学和高中三角函数里面非常重要的反三角函数，经常用来做求导积分极限运算以及三角代换。

底层定义原理

正切函数 tanθ 本身具备周期性，周期是派，同一个正切值会对应很多不同角度，不满足一一对应，不能直接得到反函数，所以人为把 tanθ 限定在负二分之派到正二分之派这个区间，这个区间里面 tanθ 单调递增，形成一一映射，这样才可以定义反函数 arctanx，按照反函数的对应规则，原函数 tanθ 的定义域变成 arctanx 的值域，原函数 tanθ 的值域也就是全体实数，变成 arctanx 的定义域。

核心性质

一 定义域与值域

定义域 x 属于全体实数

值域 y 属于负二分之派到正二分之派

二 奇偶性

arctan 负 x 等于负 arctanx，属于奇函数，函数图像关于原点中心对称

三 单调性

在整个定义域上单调递增，没有递减区间

四 极限特征

当 x 趋向正无穷，arctanx 趋向二分之派

当 x 趋向负无穷，arctanx 趋向负二分之派

五 导数公式

arctanx 的导数等于 1 除以 (1 加 x 平方)

六 互逆恒等式

当 θ 属于负二分之派到正二分之派，arctan (tanθ) 等于 θ

当 x 属于全体实数，tan (arctanx) 等于 x

常用特殊值对照表

表格

拓展应用要点

arctanx 经常用于积分里面的三角代换，比如含有 1 加 x 平方结构的积分，可以令 x 等于 tant，把根式或者分式转换成三角函数积分，同时 arctanx 也可以展开成幂级数，在无穷级数章节会学习对应的展开形式，不定积分∫arctanx dx 也可以使用分部积分法求解。

arctanx 作为反正切函数，核心就是理解它是 tan 的主值反函数，牢记定义域值域奇偶性导数和互逆恒等式，掌握这些基础性质之后，就可以顺利完成和 arctanx 相关的求值求导积分题目。

【相关 FAQ】

问题 1 arctanx arctanx 是不是 tanx 的倒数

回答 1 arctanx 不是 tanx 的倒数，arctanx 是正切主值区间上的反函数，tanx 的倒数是余切函数 cotx，二者概念不同，arctanx 满足 tan (arctanx) 等于 x。

问题 2 arctanx arctanx 的定义域为什么是全体实数

回答 2 arctanx 的定义域是全体实数，因为原函数 tan 在主值区间上的值域是全体实数，反函数的定义域等于原单调函数的值域，所以 arctanx 可以接受任意实数作为自变量。

问题 3 arctanx arctanx 的导数公式是什么

回答 3 arctanx 的导数等于 1 除以 (1 加 x 平方)，这个是 arctanx 非常常用的求导公式，在微分和积分运算里面会频繁使用。

【免责申明】

本文内容仅为反三角函数数学知识教学演示，答题请按照教材规范书写，注意主值区间相关限制条件。