【数学期望的公式】数学期望是概率论与统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在长期试验中平均结果的数值。它反映了随机变量的“中心位置”或“平均水平”。数学期望的计算方法根据随机变量的类型（离散型或连续型）有所不同。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用符号 $ E(X) $ 或 $ \mu $ 表示，是对随机变量 $ X $ 的一个加权平均值，权重为各个可能取值的概率。
二、数学期望的公式总结
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) $ | 其中 $ x_i $ 是随机变量的可能取值，$ P(x_i) $ 是对应的概率 |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $ | 其中 $ f(x) $ 是概率密度函数 |
| 线性性质 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | $ a $ 和 $ b $ 为常数 |
| 期望的加法性质 | $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ | 适用于任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $ |
三、举例说明
离散型例子：
假设一个随机变量 $ X $ 可能取值为 1、2、3，对应的概率分别为 0.2、0.5、0.3。
则其数学期望为：
$$
E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
$$
连续型例子：
设随机变量 $ X $ 在区间 [0, 2] 上服从均匀分布，概率密度函数为：
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
则其数学期望为：
$$
E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
$$
四、注意事项
- 数学期望不一定是随机变量的可能取值之一。
- 如果期望存在，则称为“可期望的”；若不存在，则称为“不可期望的”。
- 数学期望可以用来评估风险、决策分析、投资回报等实际问题。
通过上述公式和实例，我们可以更清晰地理解数学期望的含义及其在实际问题中的应用价值。
