【n阶方阵的性质公式】在矩阵理论中，n阶方阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。n阶方阵是指由n行n列元素组成的方阵，其具有许多重要的数学性质和运算规律。以下是对n阶方阵常见性质的总结，并以表格形式进行展示。

一、n阶方阵的基本性质

1. 行列式（Determinant）

行列式是一个与n阶方阵相关的标量值，用于判断矩阵是否可逆。若行列式为0，则矩阵不可逆；否则可逆。

2. 迹（Trace）

迹是矩阵主对角线上所有元素之和，记作tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ。

3. 特征值与特征向量

对于n阶方阵A，存在λ（特征值）和非零向量v（特征向量），使得Av = λv。

4. 可逆性

若A ≠ 0，则A可逆，且其逆矩阵A⁻¹存在。

5. 伴随矩阵

伴随矩阵adj(A)是A的余子矩阵的转置，满足A·adj(A) = A·I。

6. 幂运算

n阶方阵可以进行幂运算，如A² = A·A，A³ = A·A·A等。

7. 相似矩阵

若存在可逆矩阵P，使得B = P⁻¹AP，则称A与B相似。

8. 正交矩阵

若A的转置等于其逆矩阵，即Aᵀ = A⁻¹，则称A为正交矩阵。

9. 对称矩阵

若A = Aᵀ，则称A为对称矩阵。

10. 反对称矩阵

若A = -Aᵀ，则称A为反对称矩阵。

二、常用公式汇总表

三、小结

n阶方阵作为线性代数的核心对象，其性质和公式在数学分析、数值计算、信号处理等多个领域均有广泛应用。理解这些基本性质和相关公式，有助于更深入地掌握矩阵理论，并为后续的矩阵分解、特征分析、系统建模等提供坚实基础。

通过以上总结与表格，读者可以快速掌握n阶方阵的关键性质及其应用公式，提升对矩阵理论的理解与运用能力。