在高等数学的学习过程中，函数极限是一个非常重要的概念。它不仅是理解微积分的基础，也是解决实际问题的关键工具。下面通过几个经典的例题来探讨函数极限的相关性质和解题技巧。

例题一：基本极限公式应用

求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

解析：这是一个典型的三角函数与自变量比值的极限问题。根据基本极限公式，当 \(x\) 趋近于 \(0\) 时，\(\frac{\sin x}{x}\) 的极限为 \(1\)。此题旨在帮助学生熟悉并掌握这一基础公式，同时提醒大家注意公式的适用条件。

例题二：无穷小量比较

设 \(f(x) = x^3 + x^2\) 和 \(g(x) = x^2\)，讨论两者在 \(x \to 0\) 时的无穷小量关系。

解析：本题考察的是无穷小量的阶数比较。通过计算比值 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} (x + 1)\)，可以得出结论：\(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的高阶无穷小量。这类题目有助于培养学生对无穷小量概念的理解及其实际运用能力。

例题三：夹逼准则的应用

已知函数 \(f(x)\) 满足 \(|f(x)| \leq x^2\) 对所有 \(x \neq 0\) 成立，且 \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)，试证明 \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)。

解析：此题利用了夹逼准则来确定函数的极限。由于 \(|f(x)|\) 被限制在一个趋于零的函数之内，因此可以直接得出 \(f(x)\) 的极限也为零。此题不仅巩固了夹逼准则的应用，还强调了不等式在分析极限中的重要性。

结语

以上三个例子展示了不同类型的函数极限问题及其解决方法。掌握这些基础知识对于进一步深入学习微积分至关重要。希望同学们能够通过这些经典例题加深对函数极限的理解，并灵活运用于实践中。继续探索更多复杂的极限问题吧！