在数学中，一元二次方程是形式为 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的代数方程，其中 \( a \neq 0 \)。这个方程的求解公式被称为“求根公式”，它可以帮助我们快速找到方程的两个解（实数解或复数解）。接下来，我们将详细推导出这个公式。

首先，我们从标准形式出发：

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

为了简化计算，我们假设 \( a \neq 0 \)，这样可以将方程两边同时除以 \( a \)，得到：

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]

接下来，我们将方程改写成一个完全平方的形式。为此，我们需要完成平方操作。首先，我们将常数项移到方程右侧：

\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]

然后，在左侧添加一个适当的值，使得左侧成为一个完全平方。这个值是 \(\left( \frac{b}{2a} \right)^2\)，即：

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \]

左侧现在是一个完全平方形式：

\[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \]

为了方便进一步化简，我们将右侧的分母统一为 \( 4a^2 \)：

\[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{-4ac + b^2}{4a^2} \]

接下来，我们对方程两边开平方，注意开平方时需要考虑正负两种情况：

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \]

继续化简右侧的平方根：

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

最后，将 \(\frac{b}{2a}\) 移到右侧，得到最终的求根公式：

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

这就是一元二次方程的求根公式。通过这个公式，我们可以轻松地求解任何形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的方程。值得注意的是，公式中的判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 决定了方程解的性质：当 \( \Delta > 0 \) 时，方程有两个不同的实数解；当 \( \Delta = 0 \) 时，方程有一个重根；当 \( \Delta < 0 \) 时，方程有两个共轭复数解。

通过上述推导过程，我们可以清楚地看到，求根公式的得出依赖于配方法和代数运算的基本技巧。希望这个详细的推导过程能够帮助你更好地理解一元二次方程的求解方法。